Resumo extraído do capítulo 2 do livro Modern Control Engineering de Katsuhiko Ogata, 5ª edição

Capítulo 2 – Modelos Matemáticos para Sistemas de Controlo

Este capítulo foca-se em representar sistemas físicos através de funções de transferência — uma abordagem baseada na frequência e fundamental na teoria clássica de controlo. Enquanto o Capítulo 1 se centrava na modelação no domínio do tempo (com equações diferenciais), aqui passa-se para a representação no domínio da frequência, mais especificamente usando transformadas de Laplace e funções de transferência. Esta metodologia simplifica a análise de sistemas lineares invariantes no tempo (LTI), transformando equações diferenciais em equações algébricas.

O capítulo introduz a ideia de que qualquer sistema linear descrito por equações diferenciais com coeficientes constantes pode ser analisado no domínio da frequência, o que facilita o estudo da resposta do sistema a entradas variadas, a análise de estabilidade e a síntese de controladores.

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Secção 2.1: A transformada de Laplace

Esta secção introduz e define a transformada de Laplace, que converte funções no domínio do tempo $f(t)$ em funções de variável complexa $F(s)$ no domínio da frequência. A definição da transformada de Laplace unilateral é apresentada como:

$$F(s) = \mathcal{L}[f(t)] = \int_0^\infty e^{-st} f(t) dt$$

São discutidas as propriedades fundamentais da transformada, incluindo:

• Linearidade

• Deslocamento no tempo

• Derivadas e integrais

• Teorema do valor inicial e final

A transformada é particularmente útil para resolver equações diferenciais, pois transforma a operação de diferenciação numa multiplicação algébrica por $s$, simplificando a análise de sistemas.

Além disso, a secção fornece várias transformadas comuns e usa exemplos para mostrar como aplicar a transformada de Laplace para resolver equações diferenciais ordinárias que descrevem sistemas dinâmicos.

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Secção 2.2: Função de transferência de Sistemas Lineares

Esta secção define a função de transferência como a razão entre a transformada de Laplace da saída e da entrada de um sistema, assumindo condições iniciais nulas:

$$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}$$

São analisados diferentes tipos de sistemas físicos (mecânicos e elétricos), ilustrando como derivar as suas funções de transferência a partir das equações diferenciais que os governam. Exemplos incluem:

• Sistemas massa-mola-amortecedor

• Circuitos RLC

Para cada tipo de sistema, a equação diferencial é transformada numa equação algébrica via transformada de Laplace e reorganizada para obter $G(s)$.

A função de transferência fornece uma descrição completa do comportamento dinâmico do sistema (para sistemas LTI), permitindo prever a resposta a entradas arbitrárias no domínio da frequência.

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Secção 2.3: Diagrama de Blocos

Esta secção introduz os diagramas de blocos, uma ferramenta gráfica para representar a interligação de sistemas dinâmicos e os fluxos de sinal. Cada bloco representa um subsistema com a sua função de transferência associada, e as conexões entre blocos representam as relações de sinal (soma, subtração, ramificações).

São introduzidas várias regras fundamentais de simplificação de diagramas de blocos, tais como:

• Combinação de blocos em série e paralelo

• Realimentações (feedback)

• Movimentação de somadores e ramos

São fornecidos exemplos para mostrar como converter uma equação diferencial num diagrama de blocos equivalente, e como simplificar esse diagrama para obter a função de transferência global de sistemas compostos. Esta técnica é essencial para a modelação modular e análise de sistemas complexos de controlo.

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Secção 2.4 – Modelação no Espaço de Estados 

Esta secção introduz a abordagem moderna à modelação de sistemas dinâmicos — a representação no espaço de estados — que se tornou essencial com o aumento da complexidade dos sistemas e o uso intensivo de computadores no projeto de controlo.

Conceitos fundamentais:

• Estado: É definido como o conjunto mínimo de variáveis necessário para descrever completamente o comportamento de um sistema dinâmico a partir de um determinado instante e entrada.

• Variáveis de estado: São os elementos do vetor de estado, escolhidos geralmente como saídas de integradores no sistema.

• Vector de estado: Um vetor que agrupa todas as variáveis de estado.

• Espaço de estados: Um espaço n-dimensional em que cada eixo representa uma variável de estado.

Equações no espaço de estados:

O comportamento de sistemas dinâmicos é descrito por:

• Equação de estado:

  $$\dot{x}(t) = f(x(t), u(t), t)$$

• Equação de saída:

  $$y(t) = g(x(t), u(t), t)$$

Nos sistemas lineares e invariantes no tempo, estas equações assumem a forma matricial:

$$\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t)$$

• $$y(t) = C x(t) + D u(t)$$

Exemplo:

A secção inclui um exemplo prático com um sistema massa-mola-amortecedor, onde se mostra como escolher as variáveis de estado (deslocamento e velocidade) e formular as equações no espaço de estados.

Esta representação é vantajosa para sistemas com múltiplas entradas e saídas (MIMO), sistemas não lineares e para o projeto de controladores em tempo real.

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Secção 2.5 – Representação em Espaço de Estados de Sistemas com Equações Diferenciais Escalares 

Esta secção mostra como converter uma equação diferencial escalar de ordem n numa forma de primeira ordem no espaço de estados. Isto é essencial porque os métodos modernos de análise e controlo operam sobre sistemas de primeira ordem em forma matricial.

Casos abordados:

1. Sem derivadas da entrada (u):
   Uma equação diferencial como

   $$y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \cdots + a_n y = u(t)$$

   pode ser convertida definindo variáveis de estado sucessivas como

   $$x_1 = y, \quad x_2 = \dot{y}, \quad \dots, \quad x_n = y^{(n-1)}$$

   resultando numa forma padrão:

   $$\dot{x} = A x + B u, \quad y = C x$$

2. Com derivadas da entrada (u):
   Quando a entrada também aparece com derivadas, como:

   $$y^{(n)} + \cdots = b_0 u^{(n)} + b_1 u^{(n-1)} + \cdots$$

   O truque está em escolher variáveis de estado que absorvam as derivadas da entrada, garantindo que a equação de estado não as contenha explicitamente. A matriz B será ajustada com base nos coeficientes $b_i$, calculados a partir de uma fórmula que os reexprime em função das constantes $a_i$ e $b_i$.

Este processo é fundamental para gerar modelos equivalentes que podem ser manipulados com ferramentas modernas (como MATLAB).

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Secção 2.6 – Transformação de Modelos Matemáticos com MATLAB 

Esta secção apresenta as funções básicas do MATLAB usadas para converter entre funções de transferência e representações no espaço de estados, e vice-versa.

Transformar de função de transferência para espaço de estados:

• Comando:

  [A, B, C, D] = tf2ss(num, den)
  

  Onde num e den são os coeficientes do numerador e denominador da função de transferência.

• Esta transformação retorna uma forma canónica controlável por padrão, mas outras formas são possíveis com manipulações adicionais.

Transformar de espaço de estados para função de transferência:

• Comando:

  [num, den] = ss2tf(A, B, C, D)
  

  Para sistemas com múltiplas entradas, é possível indicar qual entrada usar com um argumento adicional:

  [num, den] = ss2tf(A, B, C, D, iu)
  

Exemplos:

São apresentados exemplos em MATLAB mostrando a aplicação dos comandos a sistemas simples, verificando que a conversão é consistente e mantendo a equivalência matemática entre as representações.

Esta secção destaca o poder e a utilidade das ferramentas computacionais para a análise e síntese de sistemas de controlo complexos.

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Secção 2.7 – Linearização de Modelos Matemáticos Não Lineares 

Esta secção trata do processo de linearização, uma técnica essencial para lidar com sistemas não lineares, ao aproximar o comportamento do sistema em torno de um ponto de operação em equilíbrio.

Sistemas não lineares:

• Um sistema é considerado não linear quando não obedece ao princípio da sobreposição.

• Muitos sistemas físicos apresentam não linearidades (como saturação, zona morta, ou comportamentos quadráticos), mesmo que sejam tratados como lineares em regime limitado.

Linearização em torno de um ponto de equilíbrio:

• Na prática, os sistemas operam muitas vezes próximos de um ponto de equilíbrio (estado estacionário), o que permite aproximar o sistema por um modelo linear válido nesse intervalo.

• A técnica baseia-se no desenvolvimento em série de Taylor da função não linear em torno de um ponto de equilíbrio $(x_0, y_0)$, desprezando os termos de ordem superior:

  $$y = f(x) \approx f(x_0) + \left.\frac{df}{dx}\right|_{x_0} (x - x_0)$$

• Para sistemas com múltiplas variáveis de entrada (e.g. $x_1, x_2$), a aproximação linear torna-se:

  $$y - y_0 \approx \frac{\partial f}{\partial x_1} (x_1 - x_{10}) + \frac{\partial f}{\partial x_2} (x_2 - x_{20})$$

Aplicações:

• Esta abordagem permite aplicar as ferramentas de controlo linear a sistemas originalmente não lineares, desde que as variações em torno do ponto de equilíbrio sejam pequenas.

• Inclui-se um exemplo de linearização da equação $z = x y$, mostrando o cálculo do erro ao substituir o modelo exato pelo linearizado.

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Secção 2.8 – Modelos de Sistemas Dinâmicos com MATLAB 

Esta secção mostra como usar o MATLAB para criar e manipular modelos de sistemas dinâmicos representados por funções de transferência e representações em espaço de estados.

Funções principais apresentadas:

1. Criação de uma função de transferência:

   sys = tf(num, den)
   

2. Criação de um sistema em espaço de estados:

   sys = ss(A, B, C, D)
   

3. Conversão de uma função de transferência para espaço de estados:

   [A, B, C, D] = tf2ss(num, den)
   

4. Conversão inversa – espaço de estados para função de transferência:

   [num, den] = ss2tf(A, B, C, D)
   

5. Impressão da função de transferência:

   printsys(num, den)
   

Exemplos práticos:

Incluem-se exemplos detalhados onde são aplicadas estas funções:

• Representações de sistemas com múltiplos blocos (em cascata, paralelo ou com realimentação).

• Verificação de equivalência entre modelos diferentes (transferência vs. espaço de estados).

• Uso de comandos series, parallel e feedback para combinar blocos.

Esta secção prepara o leitor para análises mais avançadas com auxílio computacional.

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Secção 2.9 – Observações Finais sobre a Modelação de Sistemas 

Esta secção encerra o capítulo com reflexões importantes sobre a prática de modelação.

Pontos principais:

• Modelos matemáticos são aproximações: Um modelo é sempre uma representação simplificada da realidade. O nível de detalhe a incluir depende do objetivo da análise.

• Validade limitada: Um modelo que é válido para uma condição de operação pode não ser adequado noutras. Isso reforça a importância de:

  • Validar o modelo com dados experimentais.

  • Reconhecer a existência de propriedades negligenciadas (não linearidades, parâmetros distribuídos, atrito, etc.).

• Escolha da representação: Dependendo do tipo de análise (resposta no tempo, frequência, controlo ótimo), pode ser mais conveniente usar:

  • Funções de transferência para sistemas SISO lineares.

  • Espaço de estados para sistemas MIMO ou para controlo moderno.

• Linearização como ferramenta: Permite usar métodos lineares em sistemas originalmente não lineares, desde que haja limitação no intervalo de operação.

O autor reforça que a compreensão dos princípios de modelação e das suas limitações é essencial para a análise e o projeto eficaz de sistemas de controlo.

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Resumo extraído do Capítulo 1 do livro Computer Organization and Design – ARM Edition, de David Patterson e John Hennessy

Capítulo 1 - Abstrações sobre Computadores e Tecnologia

📘 1.1 – Introdução

Esta secção introduz o campo dos sistemas computacionais, destacando a sua relevância na sociedade moderna. Os autores sublinham como a computação está em constante inovação, com impactos comparáveis aos das revoluções agrícola e industrial. Referem-se ao progresso extraordinário impulsionado pela Lei de Moore, que prevê a duplicação dos recursos dos circuitos integrados a cada 18 a 24 meses.

Dá-se destaque à evolução de aplicações antes consideradas ficção científica, como:

• Computadores em automóveis;

• Telemóveis;

• O Projecto Genoma Humano;

• A Web e motores de busca;

• Veículos autónomos e realidade aumentada.

São descritas três grandes categorias de computadores:

1. Computadores pessoais (PCs) – focados na performance para um utilizador a baixo custo;

2. Servidores – gerem grandes cargas de trabalho e exigem elevada fiabilidade;

3. Computadores embebidos – são os mais comuns e estão integrados em dispositivos como automóveis, televisores, aviões, etc.

Fala-se da Era pós-PC, dominada por dispositivos móveis pessoais (PMDs), como smartphones e tablets, que usam aplicações distribuídas entre o dispositivo e a computação na nuvem (cloud computing). O conceito de Software como Serviço (SaaS) também é apresentado.

Finalmente, são introduzidos os objectivos do livro, que incluem:

• Entender a tradução de linguagens de alto nível para linguagem de máquina;

• Compreender o impacto do hardware e do software no desempenho;

• Melhorar a eficiência energética;

• Explorar o paralelismo e as técnicas modernas de projecto de hardware.

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💡 1.2 – Oito Grandes Ideias da Arquitectura de Computadores

Esta secção apresenta oito princípios fundamentais que orientam o design de computadores desde há décadas:

1. Conceber para a Lei de Moore – antecipar a evolução tecnológica ao longo do tempo.

2. Utilizar abstracções para simplificar o design – esconder complexidades com modelos mais simples.

3. Tornar o caso comum mais rápido – optimizar as operações mais frequentes.

4. Performance através de paralelismo – realizar várias operações simultaneamente.

5. Performance através de pipeline – sobrepor etapas de execução de instruções (semelhante a uma linha de montagem).

6. Performance através de previsão (prediction) – adivinhar o caminho provável de execução para ganhar tempo.

7. Hierarquia de memórias – combinar diferentes tipos de memória para equilibrar velocidade, custo e capacidade.

8. Confiabilidade através de redundância – usar componentes duplicados para lidar com falhas.

Cada ideia é representada por um ícone e será usada ao longo do livro para ilustrar como essas estratégias estão presentes nas arquitecturas modernas.

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🧩 1.3 – Abaixo do Teu Programa 

Esta secção explica como um programa escrito numa linguagem de alto nível é transformado até chegar ao nível do hardware:

• As aplicações são compostas por milhões de linhas de código e usam bibliotecas sofisticadas.

• O hardware só compreende instruções muito simples em linguagem binária (0s e 1s).

• Várias camadas de software são necessárias para traduzir essas aplicações para uma forma compreensível pelo hardware.

Dois componentes essenciais do software de sistema são:

1. Sistema operativo (OS) – gere os recursos, entrada/saída e memória, permitindo que múltiplos programas coexistam.

2. Compilador – traduz programas de linguagens como C ou Java para linguagem de máquina, passando por uma fase intermédia de linguagem de montagem (assembly).

O processo é explicado assim:

• O programador escreve código em C (alto nível);

• O compilador traduz para assembly;

• O assembler converte o código assembly para linguagem binária (linguagem de máquina).

As vantagens das linguagens de alto nível são:

• Maior expressividade e produtividade;

• Portabilidade entre computadores diferentes;

• Redução do número de linhas necessárias para implementar uma ideia.

O conceito de abstracção é reforçado como uma das ideias-chave que tornam possível este empilhamento de camadas de software sobre hardware.

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🧠 1.4 – Por Detrás da Máquina 

Esta secção introduz a estrutura interna de um computador, destacando os seus cinco componentes clássicos:

1. Entrada (Input) – dispositivos como teclados, microfones ou sensores;

2. Saída (Output) – ecrãs, colunas, impressoras;

3. Memória – armazena dados e programas em execução;

4. Caminho de dados (Datapath) – executa operações aritméticas e lógicas;

5. Unidade de controlo (Control) – coordena as operações do datapath, memória e I/O.

As secções seguintes exploram estes componentes em mais detalhe. A memória e o processador formam o núcleo da execução, enquanto os dispositivos de entrada e saída asseguram a comunicação com o exterior.

🖥️ Dispositivos de entrada/saída:

• Os ecrãs modernos usam LCDs com matriz activa, compostos por milhões de píxeis controlados por transístores.

• A imagem é mantida num buffer de imagem (frame buffer), que é lido ciclicamente.

• Tablets e smartphones utilizam ecrãs tácteis capacitivos, que detectam toques com base em alterações de campo eléctrico.

🧩 Organização física:

• Mostra-se o exemplo do iPad 2 com os seus componentes: ecrã, câmara, sensores (giroscópio, acelerómetro), chip A5 (com dois núcleos ARM), memória, e interfaces de comunicação (Wi-Fi, Bluetooth).

💾 Memória:

• A memória principal é baseada em DRAM, que é volátil (perde dados sem energia).

• A memória cache, feita com SRAM, é mais rápida mas mais cara, usada como buffer entre o processador e a DRAM.

• A memória flash, não volátil, é usada em dispositivos móveis como memória secundária. Tem limitações no número de escritas possíveis.

🌐 Redes:

• Os computadores estão ligados por redes locais (LANs) ou redes alargadas (WANs).

• A comunicação em rede permite:

  • Partilha de recursos;

  • Acesso remoto;

  • Comunicação eficiente.

• O Ethernet é um exemplo de rede local, enquanto redes WAN formam a espinha dorsal da Internet.

• O Wi-Fi (IEEE 802.11) tornou-se central na era pós-PC, sendo económico e de elevada largura de banda.

📏 Abstracção: Arquitetura e Implementação

• Introduz-se a arquitectura do conjunto de instruções (ISA) como a interface entre o hardware e o software de baixo nível.

• O ABI (Application Binary Interface) define a compatibilidade binária de aplicações.

• Diferencia-se arquitectura (funções oferecidas) de implementação (como são concretizadas essas funções).

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🔧 1.5 – Tecnologias para Construir Processadores e Memórias

Esta secção aborda as tecnologias físicas que permitiram a evolução dos computadores, com foco especial nos circuitos integrados.

⚙️ Evolução tecnológica:

• Inicia-se com as válvulas (1950s), passando pelos transístores, depois os circuitos integrados (IC) e mais tarde os VLSI (Very Large Scale Integration).

• A Lei de Moore prevê a duplicação do número de transístores num chip a cada 18-24 meses.

🏭 Processo de fabrico:

• O fabrico começa com um lingote de silício, cortado em wafers.

• Os wafers passam por 20 a 40 etapas de processamento, criando camadas de transístores, condutores e isoladores.

• Cada wafer é dividido em dies (chips), que são testados. Os bons são embalados e vendidos.

• O rendimento (yield) depende do número de dies bons por wafer, que diminui com o aumento da área do die.

🧪 Fórmulas de custo:

Apresenta-se uma fórmula simplificada para o custo por die:

Custo por die = Custo por wafer / (dies por wafer × rendimento)

E outra para estimar os dies por wafer e o rendimento com base em defeitos e área.

📏 Processo de miniaturização:

• A escala de fabrico (ex.: 32 nm) define o tamanho mínimo de elementos no chip.

• Chips mais pequenos e de menor consumo são mais baratos e permitem maior densidade por wafer.

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🧮 1.6 – Desempenho (Performance)

Esta secção trata de como avaliar o desempenho de computadores, tanto do ponto de vista do utilizador como do engenheiro.

📊 Definir desempenho:

• Para o utilizador: tempo de resposta (tempo entre início e fim de uma tarefa).

• Para centros de dados: vazão (throughput) – número de tarefas concluídas por unidade de tempo.

• Um sistema com maior vazão pode não ter menor tempo de resposta para um utilizador individual.

✈️ Exemplo ilustrativo:

• Compara-se o desempenho com o transporte aéreo: o Concorde é o mais rápido para uma pessoa, mas o Boeing 747 tem maior vazão por transportar mais passageiros.

📐 Fórmulas e métricas:

• Define-se "A é n vezes mais rápido que B" como:

PerformanceA / PerformanceB = TempoB / TempoA

• São discutidas várias formas de medir desempenho, como instruções por segundo (IPS), ciclos por instrução (CPI), frequência do relógio (clock rate), etc.

📉 Vieses e armadilhas:

• Medir mal o desempenho pode levar a conclusões erradas.

• Benchmarks específicos, como os apresentados mais adiante (ex.: SPEC), tentam capturar métricas reais de desempenho com aplicações típicas.

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🔋 1.7 – O Limite da Energia

Esta secção aborda o desafio crítico do consumo de energia e potência nos microprocessadores modernos.

• Durante décadas, o clock rate e a potência aumentaram em paralelo, até se atingir um limite físico de dissipação térmica (limite de arrefecimento).

• Este limite é conhecido como Power Wall, e representa uma barreira à continuação do aumento do desempenho apenas através da frequência.

⚙️ Energia e potência em chips CMOS:

• A tecnologia dominante de fabrico é CMOS (semicondutor de óxido metálico complementar).

• O consumo principal de energia é o consumo dinâmico, que ocorre quando os transístores mudam de estado (0↔1).

• A energia consumida por transição é proporcional a:

  $$\text{Energia} \propto \frac{1}{2} C \cdot V^2$$

  onde $C$ é a carga capacitiva e $V$ é a tensão.

• A potência dinâmica depende também da frequência de comutação:

  $$\text{Potência} \propto \frac{1}{2} C \cdot V^2 \cdot f$$

• Para reduzir potência, foi comum diminuir a tensão (~15% por geração). Isso permitiu aumentos no clock sem proporcional aumento de potência.

⚠️ Problemas modernos:

• A descida de tensão tem limites: transístores tornam-se "fugas" (leaky), desperdiçando energia mesmo quando desligados.

• Cerca de 40% da energia consumida em servidores deve-se a fugas estáticas.

• Técnicas como desligar partes do chip e melhorar o arrefecimento são usadas, mas limitadas pelo custo, especialmente em dispositivos móveis.

🔁 Conclusão: o design de microprocessadores teve de mudar drasticamente, pois o caminho tradicional baseado em mais velocidade e transístores tornou-se insustentável.

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🔄 1.8 – A mudança radical: A passagem dos uniprocessadores para os multiprocessadores

Esta secção descreve uma mudança radical na indústria: o abandono dos processadores únicos (uniprocessors) em favor dos multicore.

• Até cerca de 2006, o desempenho melhorava com aumento da frequência e melhorias internas.

• Com a Power Wall, os fabricantes passaram a incluir vários núcleos (cores) num único chip.

  • Exemplo: um “quad-core” tem quatro processadores num só chip.

🧠 Consequências para programadores:

• Antigamente, bastava compilar o código de novo para obter mais desempenho.

• Agora, é necessário reescrever os programas para que tirem partido do paralelismo.

• O paralelismo explícito exige que o programador:

  • Divida as tarefas de forma equilibrada;

  • Minimize o tempo de sincronização e comunicação;

  • Garanta que todas as partes do programa terminam ao mesmo tempo.

🎻 Analogia:

O texto compara o software antigo a música para solista. O software para múltiplos núcleos é como escrever para uma orquestra sinfónica – mais poderoso, mas muito mais difícil.

🧩 Os capítulos seguintes do livro incluem secções sobre as implicações do paralelismo em cada domínio técnico.

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🧪 1.9 – Coisas reais: Avaliação comparativa do Intel Core i7

Esta secção introduz benchmarks reais usados para medir o desempenho de computadores, com foco no Intel Core i7.

📊 Avaliar desempenho:

• O ideal seria correr os programas reais de cada utilizador, mas isso nem sempre é prático.

• Por isso, usam-se benchmarks, que são programas-padrão representativos de workloads típicos.

• O mais importante é o SPEC (System Performance Evaluation Cooperative).

🧮 SPEC CPU2006:

• Divide-se em dois conjuntos:

  • CINT2006 – 12 benchmarks para processamento inteiro (ex.: compiladores, xadrez, simulação de ADN).

  • CFP2006 – 17 benchmarks para vírgula flutuante (ex.: dinâmica molecular, álgebra linear).

• Os factores de desempenho incluem:

  • Contagem de instruções;

  • CPI (ciclos por instrução);

  • Tempo de ciclo de clock.

• É usado o SPECratio:

  $$\text{SPECratio} = \frac{\text{Tempo de referência}}{\text{Tempo de execução}}$$

  Quanto maior o valor, melhor o desempenho.

• Para sumarizar os resultados de múltiplos benchmarks, calcula-se a média geométrica dos SPECratios.

⚡ SPECpower:

• Benchmark voltado para medir eficiência energética (operações por segundo por watt).

• Mede o consumo em diferentes níveis de carga (0% a 100%).

📌 Conclusão: o desempenho real de um processador não pode ser avaliado apenas pela frequência de relógio. Benchmarks como os SPEC ajudam a avaliar a performance com base em situações práticas.

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⚠️ 1.10 – Falácias e Armadilhas 

Esta secção alerta para conceitos errados (falácias) e erros frequentes (armadilhas) na análise e concepção de sistemas computacionais.

Exemplos abordados:

• Armadilha: Pensar que melhorar um único componente de um sistema resultará numa melhoria proporcional no desempenho global.

  • Isto é desmentido pela Lei de Amdahl, que mostra que o ganho total depende da fração do tempo de execução que é efectivamente afectada pela melhoria.

  • Exemplo: se 80% do tempo é gasto em multiplicações, mesmo acelerar essas operações infinitamente não tornará o programa 5 vezes mais rápido.

• Falácia: Supor que computadores com baixa utilização consomem pouca energia.

  • Mesmo com pouca carga, servidores consomem uma grande fração da potência máxima.

• Falácia: Acreditar que optimizar para desempenho e para eficiência energética são objectivos incompatíveis.

  • Em muitos casos, optimizações que reduzem o tempo de execução também reduzem o consumo energético global.

• Armadilha: Usar apenas parte da equação do desempenho para avaliar um sistema.

  • A equação completa considera contagem de instruções, ciclos por instrução (CPI) e frequência do relógio.

  • Usar apenas dois desses factores pode levar a conclusões erradas.

• Exemplo prático: O uso de MIPS como métrica de desempenho pode ser enganador:

  • Não permite comparar arquitecturas diferentes;

  • Varia com o tipo de programa;

  • Pode não refletir o tempo de execução real.

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📌 1.11 – Considerações Finais 

Esta secção fecha o capítulo com uma síntese das ideias abordadas:

• Tempo de execução real é a única medida fiável de desempenho.

• A abstracção é a base da concepção de sistemas computacionais modernos — em particular, a interface entre hardware e software de baixo nível (ISA).

• Moore previa a rápida evolução dos circuitos integrados; no entanto, o desempenho melhorou também com novas ideias arquitectónicas.

• Eficiência energética tornou-se mais importante do que a densidade de transístores, conduzindo à adopção dos processadores multicore.

• O design de computadores modernos equilibra múltiplos factores:

  • Desempenho;

  • Energia;

  • Fiabilidade;

  • Custo total de propriedade;

  • Escalabilidade.

💡 Plano para o livro:
Os próximos capítulos abordam os cinco componentes clássicos:

• Datapath e controlo – Cap. 3, 4 e 6;

• Memória – Cap. 5;

• Entrada/Saída – Cap. 5 e 6.

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🕰️ 1.12 – Perspectiva Histórica e Leituras Complementares 

Esta secção remete para um suplemento online que acompanha o livro.

• Fornece o contexto histórico das ideias apresentadas no capítulo.

• Procura ilustrar o lado humano da evolução tecnológica, mostrando como certos conceitos se desenvolveram ao longo do tempo.

• Ajuda a compreender melhor o presente e a antecipar o futuro da computação.

• Inclui sugestões de leitura complementar, também disponíveis no site do livro.

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Resumo extraído do Capítulo 2 do livro Structured Computer Organization de Andrew S. Tanenbaum (5.ª edição)

Estrutura dos sistemas computacionais

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2.1 PROCESSADORES

Esta secção aborda a organização e evolução dos processadores (CPUs).

• Estrutura Básica da CPU: A CPU é composta pela UC (unidade de controlo), ALU (Unidade Aritmética e Lógica) e registos. A unidade de controlo busca instruções da memória principal, interpreta-as e executa-as. Os registos armazenam dados temporários e instruções em execução, sendo o Program Counter (PC) e o Instruction Register (IR) os mais importantes.

• Execução de Instruções: A execução dá-se em etapas: buscar a instrução, actualizar o PC, decodificar a instrução, buscar operandos, executar a operação e escrever o resultado.

• Caminho de Dados (Datapath): Mostra como os dados fluem dentro da CPU, entre registos e a ALU. A performance do processador depende da eficiência deste caminho.

• Pipelining: Técnica para acelerar a execução de instruções dividindo-as em várias fases (como uma linha de montagem). Várias instruções podem ser processadas em simultâneo, uma em cada estágio.

• Paralelismo a Nível de Instrução: Explora-se o uso de pipelines duplos (como no Pentium) ou arquitecturas superscalares com várias unidades funcionais que permitem executar múltiplas instruções por ciclo de relógio.

• Processamento Paralelo (Array e Vector Processors): Processadores de array como o ILLIAC IV executam a mesma instrução sobre múltiplos dados em paralelo (SIMD). Os vector processors, como o Cray-1, usam registos vectoriais e pipelines para realizar operações vectoriais com alta eficiência.

• Multiprocessadores e Multicomputadores: Multiprocessadores partilham memória comum e são fortemente acoplados, facilitando a programação. Multicomputadores têm memória separada por CPU e comunicam por troca de mensagens, sendo mais escaláveis. Sistemas híbridos tentam combinar o melhor de ambos.

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2.2 MEMÓRIA PRINCIPAL

Esta secção foca-se na organização, tipos e funcionamento da memória principal de um sistema informático.

• Bits e Codificação Binária: A unidade mínima é o bit. O sistema binário é o mais fiável devido à facilidade de distinguir entre dois estados (0 e 1). Alguns sistemas usam codificações como BCD para representar números decimais.

• Endereços de Memória: Cada célula de memória tem um endereço único. A quantidade de bits por endereço determina o número máximo de células endereçáveis. A célula é a unidade mais pequena de endereçamento e normalmente contém um byte (8 bits).

• Ordenação de Bytes (Byte Ordering): Define como os bytes que compõem uma palavra são armazenados na memória — por exemplo, "little-endian" versus "big-endian".

• Correção de Erros: Utilizam-se códigos como o de Hamming para detectar e corrigir erros na memória. A verificação de paridade também pode ser usada para detecção simples.

• Memória Cache: Pequena memória rápida usada para armazenar dados frequentemente usados. Baseia-se no princípio da localidade (temporal e espacial). A performance depende da taxa de acertos (hit ratio) e é influenciada pelo tamanho da cache, tamanho da linha, organização, separação de dados e instruções (cache unificada vs Harvard) e número de níveis de cache.

• Empacotamento e Tipos de Memória: As memórias modernas são vendidas como módulos (SIMMs ou DIMMs), cada um contendo vários chips de memória. DIMMs transferem 64 bits por ciclo e são comuns em computadores de secretária, enquanto os SO-DIMMs são usados em portáteis. A correção de erros é opcional e pouco comum em computadores domésticos.

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2.3 MEMÓRIA SECUNDÁRIA

Mesmo com memórias principais cada vez maiores, elas continuam a ser insuficientes para armazenar todos os dados desejados, especialmente com o aumento da informação digital (como livros digitalizados, vídeos, etc.). A solução clássica é utilizar uma hierarquia de memória, onde memórias mais lentas, maiores e baratas complementam as mais rápidas e pequenas.

2.3.1 Hierarquias de Memória

• Organiza-se a memória em níveis: registos, cache, memória principal, discos magnéticos, fitas magnéticas e discos ópticos.

• À medida que se desce na hierarquia:

  • O tempo de acesso aumenta.

  • A capacidade de armazenamento aumenta.

  • O custo por bit diminui.

2.3.2 Discos Magnéticos

• Compostos por pratos com revestimento magnético.

• A informação é lida/escrita por cabeças móveis que flutuam sobre os pratos.

• Os pratos giram a velocidade constante; os dados são organizados em pistas e sectores.

• Utilizam estratégias como zonas concêntricas com diferentes números de sectores para aumentar a capacidade (zone bit recording).

• Discos Winchester são selados para evitar poeira.

2.3.3 Desempenho dos Discos

• Fatores como o tempo de procura (seek time), latência rotacional e taxa de transferência afetam o desempenho.

• Há uma grande diferença entre a taxa de pico (burst) e a taxa sustentada de transferência de dados.

2.3.4 Interfaces e Controladores

• Interfaces como IDE, EIDE e SCSI evoluíram para suportar velocidades maiores e múltiplos dispositivos.

• O endereçamento evoluiu de C/H/S para LBA (Logical Block Addressing) para ultrapassar limites antigos (como os 504 MB dos primeiros BIOS).

2.3.6 RAID

• RAID (Redundant Array of Independent Disks) melhora desempenho e fiabilidade.

• Combina múltiplos discos como se fossem um só, podendo usar técnicas como espelhamento (RAID 1) ou distribuição de paridade (RAID 5).

2.3.8 CD-Recordables (CD-R)

• CDs graváveis foram introduzidos como meio económico para backups.

• Utilizam discos com trilhas guia e material sensível à gravação com laser.

2.3.9 CD-Rewritables (CD-RW)

• Usam uma liga metálica especial com dois estados estáveis (amorfo e cristalino).

• Um laser de diferentes potências escreve, apaga e lê os dados.

2.3.10 DVD

• Representa uma evolução do CD-ROM, com maior capacidade.

• É mais adequado para aplicações como filmes e grandes bases de dados.

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2.4 ENTRADA/SAÍDA (INPUT/OUTPUT)

A secção trata da forma como os dispositivos de entrada e saída (E/S) se ligam ao processador e à memória, com foco especial nos barramentos (buses).

2.4.1 Barramentos

• Os barramentos são conjuntos de fios paralelos que transportam sinais de controlo, dados e endereços entre os vários componentes de um computador.

• A estrutura física típica inclui uma motherboard com slots para módulos de memória e placas de E/S ligadas ao barramento (ex: PCI).

• Dispositivos de E/S dividem-se entre o controlador (controlador físico/electrónico) e o dispositivo propriamente dito (ex: disco, monitor).

• O controlador gere o dispositivo e comunica com a CPU através do barramento. Pode usar DMA (Acesso Directo à Memória) para ler/escrever dados sem intervenção da CPU.

• Quando a transferência termina, o controlador gera uma interrupção, que suspende o programa em execução e invoca um tratador de interrupções (interrupt handler).

Arbitragem do Barramento

• Um árbitro de barramento decide qual componente usa o barramento quando há conflito (por exemplo, CPU vs dispositivo de E/S).

• Os dispositivos de E/S têm normalmente prioridade, pois não podem parar a sua operação física sem risco de perda de dados (ex: discos rígidos).

Problemas de Velocidade e Compatibilidade

• À medida que os componentes ficaram mais rápidos, os barramentos tornaram-se um gargalo. Surgiram soluções com barramentos múltiplos (por exemplo, PCI e ISA).

• A evolução para o barramento PCI, mais rápido, permitiu maior largura de banda para dispositivos como placas gráficas, som, rede e discos SCSI.

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2.5 SUMÁRIO

Esta secção faz uma recapitulação dos principais conceitos abordados ao longo do capítulo:

• Componentes dos Sistemas Computacionais: São compostos por três tipos principais de componentes:

  • Processadores: Responsáveis por buscar, decifrar e executar instruções.

  • Memórias: Armazenam instruções e dados.

  • Dispositivos de Entrada/Saída (E/S): Permitem a comunicação com o exterior (ex: teclado, ecrã, impressora, etc.).

• Ciclo de Execução de Instruções: Consiste em buscar uma instrução da memória, decodificá-la e executá-la. Este processo pode ser descrito como um algoritmo e, por vezes, é implementado por interpretadores.

• Melhoria de Desempenho: Muitos computadores modernos usam pipelines ou arquitecturas superscalar, com várias unidades funcionais a operar em paralelo.

• Computação Paralela:

  • Processadores em Array: Executam a mesma operação em múltiplos dados ao mesmo tempo (SIMD).

  • Multiprocessadores: Partilham uma memória comum (memória partilhada).

  • Multicomputadores: Cada processador tem a sua própria memória, e a comunicação entre eles é feita por troca de mensagens.

• Hierarquia de Memória:

  • Memória Principal: Rápida e usada para armazenar o programa em execução. Pode usar cache para melhorar a performance.

  • Memória Secundária: Mais lenta, usada para armazenamento a longo prazo. Inclui discos magnéticos, discos ópticos e RAID.

• Dispositivos de Entrada/Saída: Transferem dados entre o mundo exterior e o computador. Estão ligados por meio de um ou mais barramentos. A maioria dos dispositivos usa o código ASCII, mas o UNICODE está a tornar-se o padrão global.

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Resumo extraído do Capítulo 30, do livro: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 9th Ed

Capítulo 30 – Fontes de Campo Magnético

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30.1 – A Lei de Biot–Savart

Esta secção introduz a lei de Biot–Savart, que permite calcular o campo magnético produzido por um elemento de corrente. Baseia-se em observações experimentais feitas por Biot e Savart em 1820:

• O campo magnético elementar $d\vec{B}$ gerado por um segmento de fio $d\vec{s}$ com corrente $I$ é:

  • Perpendicular tanto a $d\vec{s}$ como ao vector unitário $\hat{r}$, que aponta do elemento para o ponto de observação.

  • Proporcional a $I$, ao comprimento do elemento $ds$ e ao seno do ângulo entre $d\vec{s}$ e $\hat{r}$.

  • Inversamente proporcional ao quadrado da distância $r^2$.

A expressão matemática é:

$$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I\, d\vec{s} \times \hat{r}}{r^2}$$

com $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T·m/A}$ (permeabilidade do vácuo).

Para obter o campo total $\vec{B}$, integra-se sobre toda a distribuição de corrente:

$$\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int \frac{d\vec{s} \times \hat{r}}{r^2}$$

Exemplos importantes:

• Fio rectilíneo infinito: resulta num campo $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}$, com $a$ a distância ao fio.

• Segmento de fio curvo (arco): campo no centro $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi a}$.

• Espira circular: no eixo da espira o campo é $B_x = \frac{\mu_0 I a^2}{2(a^2 + x^2)^{3/2}}$.

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30.2 – Força Magnética entre Dois Condutores Paralelos

Esta secção mostra que dois condutores paralelos com corrente exercem força um sobre o outro devido aos campos magnéticos que cada um gera:

• O campo criado por um fio rectilíneo é:

$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}$$

• A força magnética por unidade de comprimento sobre o segundo fio (separado por uma distância $a$) é:

$$\frac{F_B}{\ell} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi a}$$

Conclusões importantes:

• Correntes no mesmo sentido → força atractiva.

• Correntes em sentidos opostos → força repulsiva.

Esta interacção é a base da definição do ampere: duas correntes de 1 A em fios paralelos separados por 1 metro exercem uma força de $2 \times 10^{-7} \, \text{N/m}$.

Exemplo 30.4: determina o valor de corrente necessário nos fios do solo para levitar um terceiro fio (com corrente oposta) através do equilíbrio entre força magnética e peso.

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30.3 – Lei de Ampère

A Lei de Ampère fornece uma forma alternativa à de Biot–Savart para calcular o campo magnético em casos com elevada simetria:

$$\oint \vec{B} \cdot d\vec{s} = \mu_0 I_{\text{enc}}$$

Esta equação afirma que a integral de linha do campo magnético $\vec{B}$ ao longo de um caminho fechado é proporcional à corrente total $I_{\text{enc}}$ que atravessa a superfície delimitada por esse caminho.

Aplicações típicas:

• Fio rectilíneo longo: permite derivar novamente $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$.

• Fios com corrente uniforme: campo interno varia com $r$ (proporcional), campo externo varia como $1/r$.

• Toroides: $B = \frac{\mu_0 N I}{2\pi r}$ dentro do toróide, e zero fora.

• Solenoide ideal: campo uniforme no interior, dado por:

$$B = \mu_0 n I$$

onde $n = N/\ell$ é o número de espiras por unidade de comprimento.

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30.4 – O Campo Magnético de um Solenóide

Um solenóide é um fio enrolado em forma de hélice, normalmente com muitas espiras, por onde circula uma corrente. Esta configuração produz um campo magnético quase uniforme no seu interior.

Características do campo magnético:

• As linhas de campo são paralelas e densamente espaçadas no interior → campo forte e quase uniforme.

• No exterior, o campo é fraco e disperso, semelhante ao de um íman de barra.

Campo magnético de um solenóide ideal:

• Num solenóide longo, com espiras apertadas, o campo interior é:

$$B = \mu_0 n I$$

onde:

• $\mu_0$ é a permeabilidade do vazio,

• $n$ é o número de espiras por unidade de comprimento ($n = N/\ell$),

• $I$ é a corrente no solenóide.

Observações:

• Esta fórmula é válida no centro do solenóide (longe das extremidades).

• À medida que o solenóide se torna mais comprido, o campo no interior torna-se mais uniforme e o campo exterior tende para zero.

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30.5 – A Lei de Gauss para o Eletromagnetismo

Esta secção introduz a lei de Gauss para o Eletromagnetismo, análoga à lei de Gauss para o campo eléctrico, mas com uma diferença fundamental:

$$\Phi_B = \oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$$

Isto significa que o fluxo magnético total através de uma superfície fechada é sempre zero.

Implicações:

• As linhas de campo magnético não têm princípio nem fim, formando laços fechados.

• Isto reflete o facto de não existirem monopólos magnéticos (ou seja, nunca foram observadas cargas magnéticas isoladas).

• As linhas de campo que entram numa superfície fechada são sempre equilibradas pelas que saem.

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30.6 – Magnetismo na Matéria

Nesta secção explora-se a origem do magnetismo nos materiais, com base nos momentos magnéticos atómicos, que resultam:

1. Do movimento orbital dos electrões.

2. Do spin intrínseco dos electrões (propriedade quântica).

Momento Magnético Orbital

• Um electrão em órbita comporta-se como uma espira de corrente.

• O momento magnético associado é proporcional ao momento angular orbital:

$$\vec{m} = \frac{e}{2m_e} \vec{L}$$

mas com sentido oposto ao de $\vec{L}$ devido à carga negativa do electrão.

Momento Magnético de Spin

• Mesmo sem se mover em órbita, o electrão possui um momento magnético devido ao seu spin.

• Este é dado por:

$$\mu_{\text{spin}} = \frac{e \hbar}{2m_e} = \mu_B$$

onde $\mu_B$ é o magnetão de Bohr.

Comportamento dos materiais magnéticos

Os materiais classificam-se segundo a resposta ao campo magnético:

1. Ferromagnéticos:

   • Materiais como o ferro e o níquel têm domínios magnéticos onde os momentos estão alinhados.

   • Em ausência de campo externo, os domínios estão desordenados → o material não está magnetizado.

   • Com campo externo, os domínios alinham-se → o material fica magnetizado permanentemente.

   • Acima da temperatura de Curie, perdem o ferromagnetismo e tornam-se paramagnéticos.

2. Paramagnéticos:

   • Átomos com momentos magnéticos permanentes, mas sem interação forte entre si.

   • Em campo externo, os momentos tendem a alinhar-se, mas o movimento térmico dificulta este alinhamento → magnetização fraca e temporária.

3. Diamagnéticos:

   • Ocorre em todos os materiais, mas é geralmente fraco.

   • Um campo externo induz correntes atómicas que criam um campo oposto ao campo aplicado → efeito repulsivo.

   • Em materiais supercondutores, ocorre o efeito de Meissner, onde o campo magnético é completamente expulso do interior do material.

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Resumo

O capítulo aborda as fontes dos campos magnéticos, com foco nos seguintes pontos principais:

• A lei de Biot–Savart permite calcular o campo magnético gerado por elementos de corrente.

• Dois condutores paralelos com corrente exercem forças magnéticas entre si, fundamento para a definição do ampere.

• A lei de Ampère fornece uma forma simplificada de calcular o campo magnético em geometrias simétricas.

• Em configurações especiais como solenóides e toroides, os campos magnéticos podem ser intensos e previsíveis.

• A lei de Gauss para o magnetismo mostra que não existem monopólos magnéticos: o fluxo magnético através de qualquer superfície fechada é zero.

• O magnetismo na matéria tem origem em momentos magnéticos atómicos (orbitais e de spin), levando a diferentes tipos de comportamento: ferromagnetismo, paramagnetismo e diamagnetismo.

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Resumo extraído do Capítulo 29, do livro: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 9th Ed

Capítulo 29 – Campo Magnético

29.1 Modelo de Partícula num Campo Magnético

Nesta secção é introduzido o conceito de campo magnético B, análogo ao campo eléctrico, mas caracterizado pelas forças que exerce sobre cargas em movimento. O campo é definido através da força magnética que actua num carga-teste q com velocidade v, dada pela relação vectorial

$$\mathbf{F}_B = q\,\mathbf{v}\times \mathbf{B},$$

onde o produto vetorial implica que Fₗ é perpendicular tanto a v como a B, e  o seu módulo satisfaz

$$F_B = |q|\,v\,B\,\sin\theta,$$

sendo θ o ângulo entre v e B .

São apresentadas duas regras da mão direita para determinar a direcção de Fₗ:

1. Estenda os dedos na direcção de v, curve-os para B; o polegar indica v×B.

2. Coloque o polegar em v, os dedos em B; a força sai perpendicular à palma da mão .

Com base nas experiências clássicas (Oersted, Faraday, Gilbert), destaca-se que:

• F_B é proporcional à carga q, velocidade v e intensidade do campo B.

• F_B é nula se v for paralelo a B (θ=0° ou 180°) e máxima se θ=90°.

• Ao contrário da força eléctrica, F_B não pode realizar trabalho sobre a carga (é sempre perpendicular ao deslocamento), pelo que não altera a energia cinética, apenas a direcção do movimento .

Por fim, introduz-se a unidade SI do campo magnético—o tesla (1 T = 1 N/(A⋅m))—e menciona-se a unidade não SI gauss (1 T = 10⁴ G).

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29.2 Movimento de uma Partícula Carregada num Campo Magnético Uniforme

Quando uma carga positiva entra num campo magnético uniforme com v perpendicular a B, a força resultante é centrípeta, levando a movimento circular uniforme num plano ortogonal a B. Aplicando

$$qvB = \frac{mv^2}{r},$$

obtém-se o raio do trajecto

$$r = \frac{m\,v}{q\,B}, \tag{29.3}$$

e a frequência angular (ou “frequência de ciclotrão”)

$$\omega = \frac{v}{r} = \frac{q\,B}{m}, \tag{29.4}$$

bem como o período

$$T = \frac{2\pi m}{q\,B}, \tag{29.5}$$

independentes da velocidade inicial .

Se v fizer um ângulo arbitrário com B, decompõe-se o movimento em duas componentes:

• Paralela a B → deslocamento rectilíneo uniforme.

• Perpendicular a B → movimento circular uniforme.

O resultado global é um movimento helicoidal, cujo raio é dado por Eq. (29.3) usando a componente perpendicular de v .

Exemplos práticos incluem a órbita de protões em aceleradores e a curvatura de feixes de electrões em tubos de raios catódicos, ilustrados em vários exemplos numéricos nesta secção.

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29.3 Aplicações com Partículas em Movimento num Campo Magnético

1. Força de Lorentz
   Uma carga num campo eléctrico E e magnético B experimenta a combinação das duas forças:

   $$\mathbf{F} = q\mathbf{E} + q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}, \tag{29.6}$$

   permitindo classificar comportamentos e dispositivos baseados na selecção e análise de partículas .

2. Garrafa Magnética (Magnetic Bottle)
   Num campo não uniforme, mais forte nas extremidades e mais fraco no centro, as partículas são retidas numa região de oscilação entre os pontos de maior campo, formando um “bottle” que já foi proposto para confinamento de plasmas em fusão nuclear .

3. Cinturas de Van Allen e Auroras
   As cinturas de radiação da Terra compostas por protões e electrões aprisionados pelo campo magnético terrestre formam trajectórias helicoidais entre os polos. Colisões com a atmosfera produzem auroras boreais e austrais.

4. Selector de Velocidade
   Campos E e B perpendiculares permitem filtrar partículas com velocidade

   $$v = \frac{E}{B}, \tag{29.7}$$

   desviando as mais rápidas e as mais lentas para garantir feixes mono-velocidade em experiências.

5. Espectrómetro de Massas
   No espectrómetro de Bainbridge, o feixe selecionado entra num segundo campo magnético uniforme B₀, descrito pelo movimento circular. A razão massa/carga obtém-se por

   $$\frac{m}{q} = \frac{r\,B_0}{v},$$

   ou, usando o selector de velocidade,

   $$\frac{m}{q} = \frac{r\,B_0\,B}{E}. \tag{29.8}$$

   A técnica foi seminal na determinação de e/m do electrão por J. J. Thomson em 1897.

6. Ciclotrão
   Um ciclotrão acelera partículas num campo magnético uniforme explorando o facto de o período de órbita (Eq. 29.5) ser independente da velocidade, até aos primeiros efeitos relativísticos. A energia final em função do raio R é

   $$K = \tfrac12 m v^2 = \frac{q^2 B^2 R^2}{2\,m}. \tag{29.9}$$

   Este dispositivo produz isótopos para aplicações médicas e investigações em física nuclear.

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Nota: Os números entre parêntesis, como (29.3), correspondem às equações tal como numeradas no texto original.

29.4 Força Magnética em Condutores com Corrente
Nesta secção é alargado o conceito de força magnética para condutores percorridos por corrente. Para um segmento retilíneo de comprimento L e corrente I imerso num campo uniforme B, a força total é

$$\mathbf{F}_B = I\,\mathbf{L}\times\mathbf{B},$$

onde o vector $\mathbf{L}$ tem magnitude igual ao comprimento do condutor e direção da corrente. Para um fio de forma arbitrária, a força diferencial num elemento $d\mathbf{s}$ é

$$d\mathbf{F}_B = I\,d\mathbf{s}\times\mathbf{B}.$$

Quando se integra sobre um fio fechado num campo uniforme, obtém-se $\mathbf{F}_\text{total}=0$: não há força líquida sobre um laço fechado .
Num exemplo de um condutor semicircular, a força sobre a parte retilínea é $F_1=IRB$ e sobre a parte curva é $F_2=2IRB$, mas como agem em direcções opostas a resultante é $F_\text{net}=0$ e as forças exercem um binário no laço.

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29.5 Binário num Circuito de Corrente
Quando um laço de área A percorre uma corrente I num campo B, define-se o momento dipolar magnético

$$\mathbf{m} = I\,\mathbf{A},$$

onde $\mathbf{A}$ é o vector área perpendicular ao plano do laço (magnitude igual à área, direção dada pela regra da mão direita). O binário é máximo sobre o laço, quando $\mathbf{m}\perp\mathbf{B}$, é

$$\tau_\text{max} = IAB,$$

e, para qualquer orientação, o binário geral é

$$\boldsymbol{\tau} = \mathbf{m}\times\mathbf{B}.$$

A energia potencial de um dipolo magnético no campo é

$$U_B = -\mathbf{m}\cdot\mathbf{B},$$

com mínimo $U_\text{min}=-mB$ quando $\mathbf{m}\parallel\mathbf{B}$ e máximo $U_\text{max}=+mB$ para a orientação oposta.

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29.6 Efeito Hall
Ao colocar um condutor percorrido por corrente I num campo magnético perpendicular, desenvolve-se uma diferença de potencial transversal ($V_H$) – o Efeito Hall. Equilíbrio das forças elétrica e magnética dá

$$V_H = E_H\,d = v_d B\,d,$$

onde $v_d$ é a velocidade de deriva dos portadores e $d$ a largura do condutor . Em termos de densidade de carga $n$ e espessura $t$, obtém-se 

$$V_H = \frac{I\,B}{n\,q\,t},$$

sendo este instrumento útil para medir intensidade de campos magnéticos e determinar o sinal e densidade dos portadores de carga num material.

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Resumo do Capítulo 29

• Modelo Partícula em Campo Magnético: $\mathbf{F}_B = q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}$; se $\mathbf{v}\perp\mathbf{B}$, trajectória circular de raio $r=mv/(qB)$ e frequência $\omega=qB/m$.

• Força em Fio Condutor: $\mathbf{F}_B = I\,\mathbf{L}\times\mathbf{B}$; laço fechado em campo uniforme sofre binário mas não força líquida.

• Binário e Momento Magnético: $\boldsymbol{\tau}=\mathbf{m}\times\mathbf{B}$, com $\mathbf{m}=I\mathbf{A}$ e energia $U_B=-\mathbf{m}\cdot \mathbf{B<span\; style="font-family:\; verdana;"><br></span>}$

• Efeito Hall: gera tensão $V_H$ proporcional a $I B/(nq t)$, usada para medir campos e caracterizar materiais.

 

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