Resumo extraído do Capítulo 2 do livro: Elements of Electromagnetics — Sadiku & Matthew N. O., 7ed

Capítulo 2 - Sistemas de Coordenadas e transformações

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2.1 Introdução

Nesta secção, o autor explica que as grandezas físicas em eletromagnetismo  dependem do espaço e do tempo. Para descrever as variações espaciais dessas grandezas, é necessário identificar pontos no espaço de forma única através de um sistema de coordenadas.
Existem sistemas de coordenadas ortogonais (em que as superfícies coordenadas são perpendiculares entre si) e não ortogonais (pouco usados, devido à complexidade).

Exemplos de sistemas ortogonais: cartesiano (ou retangular), cilíndrico circular, esférico, elíptico cilíndrico, parabólico cilíndrico, cónico, prolato esferoidal, oblato esferoidal e elipsoidal.
Um problema difícil num sistema pode tornar-se simples noutro, o que justifica a escolha adequada do sistema de coordenadas.

Neste capítulo, o autor foca-se apenas nos três mais usados:

• Cartesiano (x, y, z)

• Cilíndrico circular (r, φ, z)

• Esférico (r, θ, φ)

Os conceitos apresentados no sistema cartesiano no capítulo anterior também se aplicam aos outros sistemas. Por exemplo, o cálculo de produtos vetoriais é feito de forma análoga em qualquer sistema. Finalmente, o autor refere que muitas vezes é necessário transformar pontos e vetores de um sistema para outro, e que serão mostradas as técnicas para isso.

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2.2 Coordenadas Cartesianas (x, y, z)

Um ponto $P$ pode ser representado por $(x, y, z)$, onde cada variável varia no intervalo $(-\infty, +\infty)$.

Um vetor $\mathbf{A}$ é escrito como:

$$\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z) = A_x \mathbf{a}_x + A_y \mathbf{a}_y + A_z \mathbf{a}_z$$

onde $\mathbf{a}_x, \mathbf{a}_y, \mathbf{a}_z$ são vetores unitários ao longo dos eixos.
O sistema pode ser destro (mais comum) ou canhoto. No sistema destro, a regra da mão direita define a orientação entre os eixos.

Este sistema é adequado para problemas em que não existe simetria circular ou esférica. Serve como base para a generalização a outros sistemas de coordenadas.

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2.3 Coordenadas Cilíndricas Circulares (r, φ, z)

Este sistema é muito útil quando há simetria cilíndrica, por exemplo em cabos coaxiais.
Um ponto $P$ é representado por $(r, φ, z)$, onde:

• $r$: distância radial ao eixo z,

• $φ$: ângulo azimutal medido a partir do eixo x no plano xy,

• $z$: mesma coordenada que no sistema cartesiano.

Intervalos típicos:

$$0 \leq r < \infty, \quad 0 \leq φ < 2\pi, \quad -\infty < z < \infty$$

Um vetor $\mathbf{A}$ escreve-se como:

$$\mathbf{A} = (A_r, A_φ, A_z) = A_r \mathbf{a}_r + A_φ \mathbf{a}_φ + A_z \mathbf{a}_z$$

onde $\mathbf{a}_r, \mathbf{a}_φ, \mathbf{a}_z$ são vetores unitários mutuamente perpendiculares.
A magnitude do vetor é:

$$|\mathbf{A}| = \sqrt{A_r^2 + A_φ^2 + A_z^2}$$

As relações de ortogonalidade e produtos vetoriais seguem a convenção de um sistema destro:

$$\mathbf{a}_r \times \mathbf{a}_φ = \mathbf{a}_z, \quad \mathbf{a}_φ \times \mathbf{a}_z = \mathbf{a}_r, \quad \mathbf{a}_z \times \mathbf{a}_r = \mathbf{a}_φ$$

Transformações entre cartesiano e cilíndrico

• De cartesiano para cilíndrico:

$$r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad φ = \tan^{-1}(y/x), \quad z = z$$

• De cilíndrico para cartesiano:

$$x = r\cos φ, \quad y = r\sin φ, \quad z = z$$

Transformações de vetores

As componentes em cada sistema também podem ser relacionadas através de matrizes de transformação, permitindo converter vetores entre coordenadas cartesianas e cilíndricas.

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2.4 Coordenadas Esféricas (r, θ, φ)

O sistema de coordenadas esféricas é indicado para problemas com simetria esférica, como campos radiados por antenas ou cargas puntuais.
Um ponto $P$ é representado por $(r, θ, φ)$, onde:

• $r$: distância radial do ponto à origem,

• $θ$ (colatitude): ângulo entre o eixo $z$ e o vetor posição,

• $φ$: ângulo azimutal, medido a partir do eixo $x$ no plano $xy$ (o mesmo que em coordenadas cilíndricas).

Intervalos típicos:

$$0 \leq r < \infty, \quad 0 \leq θ \leq \pi, \quad 0 \leq φ < 2\pi$$

Um vetor $\mathbf{A}$ é expresso como:

$$\mathbf{A} = (A_r, A_θ, A_φ) = A_r \mathbf{a}_r + A_θ \mathbf{a}_θ + A_φ \mathbf{a}_φ$$

• $\mathbf{a}_r$: aponta na direção radial (aumentando $r$),

• $\mathbf{a}_θ$: aponta na direção do aumento de $θ$,

• $\mathbf{a}_φ$: aponta na direção do aumento de $φ$.

Estes vetores são ortogonais e obedecem às regras de um sistema destro:

$$\mathbf{a}_r \times \mathbf{a}_θ = \mathbf{a}_φ, \quad \mathbf{a}_θ \times \mathbf{a}_φ = \mathbf{a}_r, \quad \mathbf{a}_φ \times \mathbf{a}_r = \mathbf{a}_θ$$

A magnitude de $\mathbf{A}$ é:

$$|\mathbf{A}| = \sqrt{A_r^2 + A_θ^2 + A_φ^2}$$

Transformações entre cartesiano e esférico

• De cartesiano para esférico:

$$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \quad θ = \tan^{-1}\!\left(\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z}\right), \quad φ = \tan^{-1}(y/x)$$

• De esférico para cartesiano:

$$x = r \sin θ \cos φ, \quad y = r \sin θ \sin φ, \quad z = r \cos θ$$

Transformação de vetores

As componentes cartesianas $(A_x, A_y, A_z)$ podem ser relacionadas com $(A_r, A_θ, A_φ)$ através de matrizes de transformação. O processo pode ser feito de forma direta ou usando o produto escalar entre vetores unitários.

O autor destaca que a transformação de pontos e vetores não altera o objeto físico em si, apenas a forma como é representado. Por exemplo, o módulo de um vetor permanece constante em qualquer sistema de coordenadas.

Finalmente, a distância entre dois pontos é apresentada em forma geral para cada sistema (cartesiano, cilíndrico e esférico), mostrando como calcular $d = | \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1 |$.

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2.5 Superfícies de Coordenada Constante

As superfícies de coordenada constante ajudam a visualizar a geometria de cada sistema:

• No sistema cartesiano:

  • $x = \text{constante}$ → plano paralelo ao plano $yz$,

  • $y = \text{constante}$ → plano paralelo ao plano $xz$,

  • $z = \text{constante}$ → plano paralelo ao plano $xy$.
    A interseção de duas superfícies é uma linha, e de três superfícies é um ponto.

• No sistema cilíndrico:

  • $r = \text{constante}$ → cilindro circular,

  • $φ = \text{constante}$ → semiplano que contém o eixo $z$,

  • $z = \text{constante}$ → plano paralelo ao plano $xy$.
    A interseção de duas destas superfícies pode ser uma linha reta ou um círculo, e a de três define um ponto.

• No sistema esférico:

  • $r = \text{constante}$ → esfera,

  • $θ = \text{constante}$ → cone com vértice na origem e eixo coincidente com $z$,

  • $φ = \text{constante}$ → semiplano a partir do eixo $z$.
    A interseção de duas superfícies dá curvas (ex.: círculos ou semicírculos), e a de três dá um ponto.

É também referido que o vetor normal a uma superfície de coordenada constante é dado por $\pm \mathbf{a}_n$, onde $n$ é a variável mantida constante.

O capítulo inclui exemplos resolvidos e exercícios práticos que mostram como calcular componentes tangenciais, normais ou ângulos de vetores relativamente a superfícies e linhas definidas nestes sistemas.

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Resumo

1. Os três sistemas de coordenadas mais usados em eletromagnetismo são o cartesiano, o cilíndrico e o esférico.

2. Um ponto $P$ é representado como:

   • $(x, y, z)$ em cartesiano,

   • $(r, φ, z)$ em cilíndrico,

   • $(r, θ, φ)$ em esférico.
     Um vetor $\mathbf{A}$ é expresso com as componentes correspondentes e respetivos vetores unitários de cada sistema.
     Para operações matemáticas (adição, produto escalar, produto vetorial, etc.), deve-se usar o mesmo sistema de coordenadas, recorrendo a transformações de pontos e vetores sempre que necessário.

3. Fixar uma coordenada define uma superfície; fixar duas define uma linha; fixar três define um ponto.

4. O vetor normal a uma superfície $n = \text{constante}$ é $\pm \mathbf{a}_n$.

O capítulo termina com uma tabela (2.1) que resume as transformações de variáveis e de componentes de vetores entre os três sistemas (cartesiano, cilíndrico e esférico).

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Resumo extraído do Capítulo 1 do livro: Elements of Electromagnetics — Sadiku & Matthew N. O., 7ed

Capítulo 1 - Álgebra vectorial

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1.1 Introdução

O eletromagnetismo é definido como o estudo das interações entre cargas elétricas, quer em repouso, quer em movimento. A disciplina envolve a análise, síntese, interpretação física e aplicação dos campos elétricos e magnéticos, constituindo um ramo essencial da física e da engenharia eletrotécnica.

Os princípios do eletromagnetismo têm aplicações em múltiplas áreas, como micro-ondas, antenas, comunicações por satélite, bioeletromagnetismo, plasmas, investigação nuclear, fibras óticas, compatibilidade eletromagnética, máquinas elétricas, conversão eletromecânica de energia, meteorologia por radar e deteção remota.

Exemplos práticos incluem:

• Uso de micro-ondas ou ondas curtas na medicina para estimular tecidos e tratar certas condições;

• Aquecimento indutivo para processos de fusão, forjamento ou soldadura;

• Aquecimento dielétrico para unir plásticos;

• Aplicações agrícolas, como a alteração do sabor de vegetais.

Os dispositivos eletromagnéticos mais comuns incluem transformadores, relés, motores, linhas de transmissão, guias de onda, antenas, fibras óticas, radares e lasers. O seu projeto requer conhecimento profundo das leis e princípios do eletromagnetismo.

O autor recorda que o comportamento eletromagnético pode ser descrito de forma compacta pelas Equações de Maxwell, que relacionam as grandezas vetoriais fundamentais: campo elétrico (E), campo magnético (H), densidade de fluxo elétrico (D), densidade de fluxo magnético (B), densidade de carga (ρv) e densidade de corrente (J).

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1.2 Uma Antevisão do Livro

O livro está organizado em quatro partes principais:

1. Parte 1 – Introduz as ferramentas matemáticas necessárias, em particular a álgebra vetorial, já que as equações do eletromagnetismo envolvem grandezas vetoriais.

2. Parte 2 – Apresenta a dedução das equações de Maxwell em condições invariantes no tempo, bem como o significado físico das grandezas E, D, H, B, J e ρv.

3. Parte 3 – Explora aplicações dessas equações em situações práticas.

4. Parte 4 – Reexamina as equações no caso dependente do tempo e aplica-as a dispositivos como linhas de transmissão, guias de onda, antenas, fibras óticas e radares.

O objetivo é conduzir o leitor de uma base matemática sólida até às aplicações práticas modernas da teoria eletromagnética.

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1.3 Escalares e Vetores

Esta secção introduz a análise vetorial como ferramenta matemática indispensável para descrever conceitos eletromagnéticos. Antes de a aplicar, é necessário compreender as suas regras e técnicas.

• Escalares: grandezas totalmente descritas pela sua magnitude. Exemplos: tempo, massa, distância, temperatura, entropia, potencial elétrico, população.

• Vetores: grandezas descritas por magnitude e direção no espaço. Exemplos: velocidade, força, aceleração, deslocamento, intensidade de campo elétrico.

• Tensores: constituem uma classe mais geral de grandezas, da qual escalares e vetores são casos particulares (embora o livro se foque principalmente nestes últimos).

A notação distingue vetores de escalares:

• Vetores: representados por letras com uma seta por cima (A→) ou a negrito (A).

• Escalares: representados por letras normais (A, B, U, V).

Introduz-se ainda o conceito de campo:

• Um campo é uma função que especifica um valor (escalar ou vetorial) em cada ponto de uma região do espaço (e possivelmente do tempo).

• Campos escalares: temperatura num edifício, intensidade sonora numa sala, potencial elétrico, índice de refração.

• Campos vetoriais: campo gravitacional, velocidade de gotas de chuva, campo elétrico.

A teoria do eletromagnetismo é essencialmente o estudo de campos elétricos e magnéticos que variam no espaço e no tempo.

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1.4 Vetor Unitário

Um vetor é caracterizado pela sua magnitude e direção.

• A magnitude de um vetor A é um escalar denotado por $|A|$ ou simplesmente A.

• Um vetor unitário é definido como um vetor de magnitude igual a 1, que aponta na mesma direção de A. É escrito como:

$$a_A = \frac{A}{|A|}$$

Assim, qualquer vetor pode ser expresso como:

$$A = A \, a_A$$

ou seja, magnitude multiplicada pelo vetor unitário que indica a sua direção.

Em coordenadas cartesianas, um vetor A pode ser representado de duas formas:

$$A = (A_x, A_y, A_z) \quad \text{ou} \quad A = A_x a_x + A_y a_y + A_z a_z$$

onde $a_x, a_y, a_z$ são os vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respetivamente.

• Estes vetores unitários são dimensionais, de magnitude 1, e indicam a direção positiva de cada eixo.

• A magnitude de A é obtida pela fórmula pitagórica:

$$|A| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}$$

• O vetor unitário na direção de A é:

$$a_A = \frac{A_x a_x + A_y a_y + A_z a_z}{\sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}}$$

Isto permite decompor qualquer vetor em componentes ao longo de cada eixo do sistema cartesiano.

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1.5 Adição e Subtração de Vetores

Dois vetores podem ser somados ou subtraídos:

• A soma de dois vetores $A + B = C$ resulta num vetor obtido somando as componentes correspondentes:

$$C = (A_x + B_x)a_x + (A_y + B_y)a_y + (A_z + B_z)a_z$$

• A diferença entre dois vetores é definida como:

$$D = A - B = (A_x - B_x)a_x + (A_y - B_y)a_y + (A_z - B_z)a_z$$

Graficamente, estas operações podem ser representadas por dois métodos:

1. Regra do paralelogramo – constrói-se um paralelogramo com lados correspondentes a A e B; a diagonal representa a soma.

2. Regra cabeça-cauda – coloca-se a cabeça de um vetor na cauda do outro; o vetor resultante vai da cauda do primeiro até à cabeça do segundo.

Propriedades da adição e subtração de vetores:

• Comutativa: $A + B = B + A$

• Associativa: $A + (B + C) = (A + B) + C$

• Distributiva: $k(A + B) = kA + kB$, onde $k$ é um escalar

Estas leis mostram que os vetores obedecem a regras algébricas semelhantes às dos números escalares.

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1.6 Vetores de Posição e de Distância

Um ponto P no espaço cartesiano é representado por coordenadas $(x, y, z)$.

• O vetor de posição de P, denotado por $r_P$, é o vetor que liga a origem $O$ a $P$:

$$r_P = x a_x + y a_y + z a_z$$

Este vetor indica a posição do ponto no espaço.

• O vetor de distância (ou de deslocamento) entre dois pontos $P(x_P, y_P, z_P)$ e $Q(x_Q, y_Q, z_Q)$ é dado por:

$$r_{PQ} = r_Q - r_P = (x_Q - x_P)a_x + (y_Q - y_P)a_y + (z_Q - z_P)a_z$$

A magnitude deste vetor corresponde à distância entre os dois pontos:

$$d = |r_{PQ}| = \sqrt{(x_Q - x_P)^2 + (y_Q - y_P)^2 + (z_Q - z_P)^2}$$

Diferença entre ponto e vetor:

• Um ponto $P(x, y, z)$ não é um vetor por si só; o que é vetor é o vetor de posição que liga a origem a esse ponto.

• No entanto, um vetor pode depender da posição de um ponto (por exemplo, campos vetoriais).

Vetores constantes vs. variáveis:

• Um vetor é constante (uniforme) se não depende de $x, y, z$.

• É variável (não uniforme) se os seus valores mudam de ponto para ponto.

Exemplo:

• $B = 3a_x - 2a_y + 10a_z$ → vetor uniforme.

• $A = 2xy a_x + y^2 a_y - xz^2 a_z$ → vetor não uniforme.

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1.7 Multiplicação de Vetores

A multiplicação de vetores pode produzir dois tipos de resultados: um escalar ou um vetor, dependendo da operação. Existem quatro formas principais:

(A) Produto Escalar (ou Produto Interno)

O produto escalar de dois vetores $A$ e $B$ é definido como:

$$A \cdot B = |A||B| \cos\theta$$

onde $\theta$ é o ângulo entre os vetores. O resultado é um escalar.

• Em termos de componentes:

$$A \cdot B = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$$

• Propriedades:

  • Comutativo: $A \cdot B = B \cdot A$

  • Distributivo: $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$

  • $A \cdot A = |A|^2$

• Dois vetores são ortogonais se $A \cdot B = 0$.

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(B) Produto Vetorial (ou produto externo)

O produto vetorial de $A$ e $B$ é um vetor definido por:

$$A \times B = |A||B| \sin\theta \, a_n$$

onde $a_n$ é o vetor unitário perpendicular ao plano formado por $A$ e $B$, seguindo a regra da mão direita.

• Em termos de determinante:

$$A \times B = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}$$

• Propriedades:

  • Não comutativo: $A \times B = - (B \times A)$

  • Não associativo: $A \times (B \times C) \neq (A \times B) \times C$

  • Distributivo: $A \times (B + C) = A \times B + A \times C$

  • $A \times A = 0$

  • Segue a regra cíclica: $a_x \times a_y = a_z$, $a_y \times a_z = a_x$, $a_z \times a_x = a_y$.

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(C) Produto Triplo Escalar

Dado três vetores $A, B, C$, define-se:

$$A \cdot (B \times C)$$

O resultado é um escalar, que corresponde ao volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. Em forma de determinante:

$$A \cdot (B \times C) = \begin{vmatrix} A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \\ C_x & C_y & C_z \end{vmatrix}$$

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(D) Produto Triplo Vetorial

Definido como:

$$A \times (B \times C) = B(A \cdot C) - C(A \cdot B)$$

Conhecido como a regra “bac-cab”. O resultado é um vetor.

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1.8 Componentes de um Vetor

O produto escalar pode ser usado para calcular a projeção (ou componente) de um vetor numa direção:

• Componente escalar de $A$ ao longo de $B$:

$$A_B = A \cdot a_B$$

onde $a_B$ é o vetor unitário na direção de $B$.

• Componente vetorial de $A$ ao longo de $B$:

$$A_B = (A \cdot a_B) a_B$$

Assim, qualquer vetor pode ser decomposto em duas componentes ortogonais:

• uma paralela a $B$,

• outra perpendicular a $B$.

Observação importante: a divisão de vetores não é definida em geral, exceto quando $A = kB$. Diferenciação e integração de vetores serão estudadas mais tarde.

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Resumo

A secção final do capítulo sintetiza os conceitos apresentados:

1. Um campo é uma função que especifica uma quantidade em cada ponto do espaço. Pode ser escalar (ex.: $V(x,y,z)$) ou vetorial (ex.: $A(x,y,z)$).

2. Um vetor $A$ é especificado pela sua magnitude e pelo vetor unitário na sua direção ($A = |A| a_A$).

3. A multiplicação de dois vetores pode resultar em:

   • um escalar (produto escalar: $A \cdot B = |A||B|\cos\theta$),

   • ou um vetor (produto vetorial: $A \times B = |A||B|\sin\theta a_n$).
     A multiplicação de três vetores pode originar:

   • um escalar ($A \cdot (B \times C)$),

   • ou um vetor ($A \times (B \times C)$).

4. A projeção escalar de $A$ em $B$ é $A_B = A \cdot a_B$. A projeção vetorial é $A_B = (A \cdot a_B) a_B$.

5. O capítulo inclui ainda comandos MATLAB úteis:

   • dot(A,B) para produto escalar;

   • cross(A,B) para produto vetorial;

   • norm(A) para magnitude;

   • A/norm(A) para vetor unitário.

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Resumo extraído do Capítulo 5 do livro: Elements of Electromagnetics — Sadiku & Matthew N. O., 7ed

Capítulo 5 - Campo Elétrico em materiais

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Secção 5.1 – Introdução

Esta secção apresenta a ligação entre campos elétricos e magnéticos e a forma como estes interagem com diferentes materiais. Introduz-se a noção de densidade de corrente como a quantidade de carga em movimento por unidade de área e por unidade de tempo, sendo medida em A/m². Discute-se também o papel fundamental da lei de conservação da carga, expressa pela equação da continuidade, que relaciona a divergência da densidade de corrente com a taxa de variação da densidade de carga no tempo. A equação da continuidade é um resultado essencial que garante que a carga elétrica não se cria nem se destrói, apenas se transfere. Esta introdução estabelece a base para o estudo das correntes de condução e de convecção em diferentes meios.

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Secção 5.2 – Propriedades dos Materiais

Aqui são estudadas as características elétricas dos materiais e como estes respondem à aplicação de campos elétricos.

• Condutores: Materiais como os metais têm grande quantidade de eletrões livres, o que permite uma condução eficiente de corrente elétrica.

• Isoladores (dielétricos): Possuem pouquíssimos eletrões livres e, portanto, não conduzem corrente de forma significativa.

• Semicondutores: Têm propriedades intermédias e a sua condutividade pode ser controlada através de impurezas (dopagem) ou da temperatura.

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Secção 5.3 – Correntes de Convecção e Condução

Nesta parte distinguem-se dois tipos de correntes elétricas:

• Corrente de convecção: associada ao movimento de cargas livres em fluidos ou no espaço livre (por exemplo, eletrões num feixe catódico ou iões num plasma). A densidade de corrente de convecção é expressa como:

$$\mathbf{J} = \rho_v \mathbf{u}$$

onde $\rho_v$ é a densidade volumétrica de carga e $\mathbf{u}$ é a velocidade média das cargas.

• Corrente de condução: ocorre em condutores devido à aplicação de um campo elétrico, sendo descrita pela lei de Ohm:

$$\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$$

Ambos os tipos de correntes obedecem à equação da continuidade, assegurando a conservação da carga. A secção mostra como estes modelos permitem descrever situações práticas em que a corrente elétrica circula através de diferentes meios, sejam gases ionizados, líquidos ou sólidos condutores.

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Secção 5.4 – Condutores

Nesta secção analisa-se o comportamento dos condutores quando submetidos a campos elétricos:

• Condutor isolado:

  • Quando um campo elétrico externo é aplicado a um condutor isolado, as cargas livres (elétrões) deslocam-se rapidamente.

  • Formam-se cargas induzidas na superfície, que criam um campo interno oposto ao externo.

  • O resultado é que o campo total no interior do condutor é nulo:

    $$\mathbf{E} = 0, \quad \rho_v = 0, \quad V_{ab} = 0$$

    Isto significa que um condutor perfeito é um equipotencial e não pode conter campo eletrostático no seu interior.

• Condutor ligado a uma fonte de tensão:

  • Se o condutor está ligado a uma fonte, o equilíbrio eletrostático não se estabelece, já que há movimento contínuo de cargas.

  • Para manter a corrente, é necessário um campo elétrico não nulo dentro do condutor.

  • A resistência de um condutor uniforme é obtida pela relação:

    $$R = \frac{\ell}{\sigma S} = \rho_c \frac{\ell}{S}$$

    onde $\ell$ é o comprimento, $S$ a área da secção transversal, $\sigma$ a condutividade e $\rho_c = 1/\sigma$ a resistividade.

  • Quando a secção não é uniforme, a resistência pode ser calculada com integrais envolvendo o campo elétrico e a densidade de corrente.

• Lei de Joule:

  • A potência dissipada num condutor é dada por:

    $$P = \int_V \mathbf{E}\cdot\mathbf{J}\, dv = \int_V \sigma E^2 \, dv$$

    ou, na forma mais usual,

    $$P = VI = I^2 R$$

    mostrando a conversão de energia elétrica em calor.

Esta análise mostra que a condução nos metais depende do movimento de eletrões sob ação de campos elétricos e das colisões com a rede cristalina.

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Secção 5.5 – Polarização em Dielétricos

Aqui é explorado como os dielétricos respondem a campos elétricos:

• Mecanismo de polarização:

  • Um átomo ou molécula é considerado como tendo cargas positivas (núcleo) e negativas (nuvem eletrónica).

  • Quando sujeito a um campo elétrico, há um deslocamento relativo entre estas cargas, formando um dipolo elétrico.

  • A soma dos dipolos por unidade de volume define a polarização:

    $$\mathbf{P} = \frac{\sum Q_k \mathbf{d}_k}{\Delta v}$$

    em C/m².

• Tipos de dielétricos:

  • Não polares: só criam dipolos quando sujeitos a campo (ex.: gases nobres, oxigénio, azoto).

  • Polares: possuem dipolos permanentes que, sem campo, estão orientados aleatoriamente (ex.: água, HCl, poliestireno). O campo tende a alinhar esses dipolos.

• Cargas ligadas:

  • A polarização dá origem a uma densidade de carga de superfície ($\rho_{ps} = \mathbf{P}\cdot \mathbf{a}_n$) e a uma densidade de carga de volume ($\rho_{pv} = -\nabla \cdot \mathbf{P}$).

  • Estas não são cargas livres, mas resultam do deslocamento das cargas atómicas.

• Deslocamento elétrico:

  • A relação entre $\mathbf{D}$, $\mathbf{E}$ e $\mathbf{P}$ é:

    $$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$$

  • Para muitos dielétricos, a polarização é proporcional ao campo elétrico:

    $$\mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E}$$

    onde $\chi_e$ é a susceptibilidade elétrica.

Assim, os dielétricos influenciam os campos elétricos através da polarização, aumentando o fluxo elétrico ($\mathbf{D}$) em relação ao que existiria no vácuo.

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Secção 5.6 – Constante Dielétrica e Força Dielétrica

Nesta secção analisam-se duas propriedades importantes dos dielétricos:

• Constante dielétrica (ou permissividade relativa $\varepsilon_r$):

  • Substituindo $\mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E}$ em $\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$, obtém-se:

    $$\mathbf{D} = \varepsilon_0 (1+\chi_e)\mathbf{E} = \varepsilon \mathbf{E}$$

    com

    $$\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$$

  • A constante dielétrica é, portanto, a razão entre a permissividade do material e a do vácuo.

  • Valores típicos estão tabelados (vidro, mica, teflon, etc.), sendo sempre $\varepsilon_r \geq 1$.

• Força dielétrica:

  • Quando o campo elétrico é suficientemente elevado, os eletrões podem ser arrancados das moléculas do dielétrico.

  • O material deixa de ser isolante e torna-se condutor: ocorre a ruptura dielétrica.

  • O valor mínimo do campo que causa a ruptura é a força dielétrica, geralmente expressa em kV/mm.

  • Este limite depende do material, da temperatura, da humidade e da duração da aplicação do campo.

Em resumo, a constante dielétrica mede a capacidade de armazenamento de energia elétrica no material, enquanto a força dielétrica define o limite máximo de campo que o material pode suportar sem falhar.

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Secção 5.7 – Dielétricos Lineares, Isotrópicos e Homogéneos

Esta secção classifica os materiais dielétricos segundo três critérios fundamentais:

• Linearidade:
  Um dielétrico é linear quando a relação entre $\mathbf{D}$ e $\mathbf{E}$ é diretamente proporcional, isto é:

  $$\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}$$

  Se a permissividade $\varepsilon$ variar com o campo aplicado, o material é não linear.

• Homogeneidade:
  O material é homogéneo quando $\varepsilon$ é constante em todos os pontos do espaço (não depende das coordenadas espaciais).
  Se variar no espaço, o material é não homogéneo (exemplo: a atmosfera, cuja permissividade muda com a altitude).

• Isotropia:
  O material é isotrópico quando as propriedades são iguais em todas as direções, isto é, $\mathbf{D}$ e $\mathbf{E}$ são paralelos.
  Se não forem paralelos, o material é anisotrópico, e a relação entre $\mathbf{D}$ e $\mathbf{E}$ é expressa por uma matriz (tensor de permissividade). Cristais e plasmas magnetizados são exemplos de materiais anisotrópicos.

• Materiais simples:
  Na prática, a maioria dos problemas considera meios lineares, isotrópicos e homogéneos (LIH). Nesses casos, basta substituir $\varepsilon_0$ por $\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$ nas expressões obtidas para o vácuo.

Assim, fórmulas como a Lei de Coulomb e a energia armazenada num campo elétrico podem ser adaptadas diretamente para materiais dielétricos LIH.

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Secção 5.8 – Equação da Continuidade e Tempo de Relaxação

Esta secção trata da conservação da carga elétrica e do comportamento temporal da redistribuição de cargas em materiais:

• Equação da continuidade:
  A partir da lei de conservação da carga, deduz-se que:

  $$\nabla \cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial \rho_v}{\partial t}$$

  Esta equação indica que qualquer variação de carga num volume está associada ao fluxo de corrente que atravessa a sua superfície.
  Para correntes estacionárias ($\partial \rho_v / \partial t = 0$), resulta $\nabla \cdot \mathbf{J} = 0$, o que é consistente com a Lei das Correntes de Kirchhoff.

• Tempo de relaxação ($T_r$):
  Considerando a lei de Ohm ($\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$) e a lei de Gauss ($\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho_v/\varepsilon$), obtém-se:

  $$\frac{\partial \rho_v}{\partial t} + \frac{\sigma}{\varepsilon} \rho_v = 0$$

  cuja solução é um decaimento exponencial:

  $$\rho_v(t) = \rho_{v0} e^{-t/T_r}$$

  com

  $$T_r = \frac{\varepsilon}{\sigma}$$

  chamado tempo de relaxação.

• Interpretação física:

  • Em bons condutores (ex.: cobre), $\sigma$ é muito elevado e $T_r$ é extremamente curto ($\sim 10^{-19}$ s). Isto significa que qualquer carga extra introduzida no interior migra para a superfície quase instantaneamente.

  • Em bons dielétricos (ex.: quartzo fundido), $\sigma$ é muito baixa, resultando num tempo de relaxação muito longo (dias). Assim, as cargas introduzidas permanecem no interior por longos períodos.

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Secção 5.9 – Condições de Contorno

Aqui são estabelecidas as condições que os campos elétricos devem satisfazer na fronteira entre dois meios diferentes.

• Decomposição dos campos:
  O campo elétrico é separado em duas componentes relativamente à superfície de separação:

  $$\mathbf{E} = \mathbf{E}_t + \mathbf{E}_n$$

  • $\mathbf{E}_t$: componente tangencial

  • $\mathbf{E}_n$: componente normal

• Entre dois dielétricos:
  Aplicando as equações de Maxwell:

  • A componente tangencial de $\mathbf{E}$ é contínua:

    $$E_{1t} = E_{2t}$$

  • A componente normal de $\mathbf{D}$ sofre descontinuidade proporcional à densidade de carga livre superficial $\rho_s$:

    $$D_{1n} - D_{2n} = \rho_s$$

    Se não houver carga livre, $D_{1n} = D_{2n}$.

  • Estas relações levam à lei da refração elétrica, que descreve a inclinação das linhas de campo ao passar de um meio para outro:

    $$\frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2} = \frac{\varepsilon_{r1}}{\varepsilon_{r2}}$$

• Entre condutor e dielétrico:

  • Dentro do condutor perfeito:

    $$\mathbf{E} = 0, \quad \rho_v = 0$$

  • A componente tangencial de $\mathbf{E}$ na superfície é nula.

  • A componente normal de $\mathbf{D}$ na superfície é igual à densidade de carga livre superficial:

    $$D_n = \rho_s$$

  • Aplicação prática: blindagem eletrostática (um condutor a zero potencial isola o seu interior de campos externos).

• Entre condutor e espaço livre:
  Caso particular da anterior, com $\varepsilon_r = 1$.
  Assim, o campo elétrico externo é normal à superfície e proporcional à densidade de carga superficial.

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Resumo

Neste capítulo estudaram-se as propriedades elétricas dos materiais e a forma como estes interagem com campos elétricos. Os principais pontos abordados foram:

• A densidade de corrente ($\mathbf{J}$) mede o fluxo de carga por unidade de área.

• A equação da continuidade garante a conservação da carga elétrica, relacionando a divergência da densidade de corrente com a taxa de variação da densidade de carga.

• Existem dois tipos principais de corrente:

  • Corrente de convecção, resultante do movimento de partículas carregadas em fluidos ou no espaço.

  • Corrente de condução, causada pelo movimento de eletrões livres em condutores sob ação de um campo elétrico, obedecendo à lei de Ohm ($\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$).

• Em condutores perfeitos, o campo elétrico interno é nulo e as cargas livres distribuem-se na superfície. A potência dissipada em condutores reais segue a lei de Joule ($P = I^2R$).

• Em dielétricos, o campo elétrico provoca polarização, que é o alinhamento de dipolos elétricos. A polarização pode ser expressa em função da susceptibilidade elétrica $\chi_e$.

• O vetor deslocamento elétrico ($\mathbf{D}$) relaciona-se com o campo elétrico e a polarização através de:

  $$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$$

• A constante dielétrica relativa ($\varepsilon_r$) quantifica a capacidade de um material armazenar energia elétrica.

• A força dielétrica indica o valor máximo de campo que um dielétrico pode suportar sem sofrer ruptura.

• Os materiais podem ser classificados como lineares ou não lineares, homogéneos ou não homogéneos, e isotrópicos ou anisotrópicos.

• A redistribuição temporal de cargas obedece ao tempo de relaxação ($T_r = \varepsilon / \sigma$), que é muito curto em bons condutores e muito longo em dielétricos.

• Foram estabelecidas as condições de contorno para os campos elétricos em interfaces:

  • A componente tangencial de $\mathbf{E}$ é contínua.

  • A componente normal de $\mathbf{D}$ sofre descontinuidade proporcional à carga superficial livre.

  • No caso de condutores, o campo elétrico é sempre normal à superfície e proporcional à densidade de carga.

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Equações Importantes

1. Densidade de corrente:

$$\mathbf{J} = \lim_{\Delta S \to 0} \frac{I}{\Delta S}$$

onde $I$ é a corrente que atravessa a área $\Delta S$.

2. Equação da continuidade:

$$\nabla \cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial \rho_v}{\partial t}$$

garante a conservação da carga elétrica.

3. Corrente de convecção:

$$\mathbf{J} = \rho_v \mathbf{u}$$

onde $\rho_v$ é a densidade volumétrica de carga e $\mathbf{u}$ a velocidade das partículas carregadas.

4. Corrente de condução (Lei de Ohm local):

$$\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$$

onde $\sigma$ é a condutividade do material.

5. Resistência de um condutor uniforme:

$$R = \frac{\ell}{\sigma S} = \rho_c \frac{\ell}{S}$$

onde $\ell$ é o comprimento, $S$ a área da secção transversal, $\sigma$ a condutividade e $\rho_c$ a resistividade.

6. Potência dissipada num condutor (Lei de Joule):

$$P = VI = I^2R = \frac{V^2}{R}$$

7. Polarização:

$$\mathbf{P} = \frac{\sum Q_k \mathbf{d}_k}{\Delta v}$$

e, para materiais lineares,

$$\mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E}$$

onde $\chi_e$ é a susceptibilidade elétrica.

8. Deslocamento elétrico:

$$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$$

9. Relação em dielétricos lineares, isotrópicos e homogéneos:

$$\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}, \quad \varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$$

10. Tempo de relaxação:

$$T_r = \frac{\varepsilon}{\sigma}$$

11. Condições de contorno nos campos elétricos:

• Componente tangencial de $\mathbf{E}$:

$$E_{1t} = E_{2t}$$

• Componente normal de $\mathbf{D}$:

$$D_{1n} - D_{2n} = \rho_s$$

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